If $\ln (a+c), \ln (c-a), \ln (a-2 b+c)$ are in A.P., then\

Question

Professor PC Thomas Classes · Answer

(d) : $\ln (a+c), \ln (c-a)$,\ $\ln (a-2 b+c)$ are in A.P.\ $\Rightarrow \quad a+c, c-a, a-2 b+c$ are in G.P.\ $\Rightarrow \quad(c-a)^{2}=(a+c)(a-2 b+c)$\ $\Rightarrow \quad(c-a)^{2}=(a+c)^{2}-2 b(a+c)$\ $\Rightarrow \quad 2 b(a+c)=(a+c)^{2}-(c-a)^{2}$ $$\begin{equation*}\Rightarrow 2 b(a+c)=4 a c \Rightarrow b=\frac{2 a c}{a+c} 	ag{1} \end{equation*}$$ $\Rightarrow \quad a, b, c$ are in H.P.\