If $x=\sec heta-\cos heta$ and $y=\sec ^{n} heta-\cos ^{n} heta$, then $\left(x^{2}+4 ight)

Question

If $x=\sec 	heta-\cos 	heta$ and $y=\sec ^{n} 	heta-\cos ^{n} 	heta$, then $\left(x^{2}+4ight)\left(\frac{d y}{d x}ight)^{2}=$

Professor PC Thomas Classes · Answer

We have\ $x=\sec 	heta-\cos 	heta, y=\sec ^{n} 	heta-\cos ^{n} 	heta$\ $\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d 	heta}{d x / d 	heta}$\ $=\frac{n \sec ^{n-1} 	heta \cdot \sec 	heta \cdot 	an 	heta-n \cdot \cos ^{n-1} 	heta \cdot(-\sin 	heta)}{\sec 	heta \cdot 	an 	heta-(-\sin 	heta)}$\ $=\frac{n\left(\sec ^{n} 	heta+\cos ^{n} 	hetaight)}{\sec 	heta+\cos 	heta}$\ $	herefore\left(\frac{d y}{d x}ight)^{2}$\ $=\frac{n^{2}\left[\left(\sec ^{n} 	heta-\cos ^{n} 	hetaight)^{2}+4 \sec ^{n} 	heta \cdot \cos ^{n} 	hetaight]}{(\sec 	heta-\cos 	heta)^{2}+4 \sec 	heta \cdot \cos 	heta}$\ $=\frac{n^{2}\left(y^{2}+4ight)}{x^{2}+4}$\ $\Rightarrow\left(x^{2}+4ight)\left(\frac{d y}{d x}ight)^{2}=n^{2}\left(y^{2}+4ight)$\