If $D_k=\left|\begin{array}{ccc}3^k & \frac{1}{(k+1)(k+2)} & \cos (k+1) heta \ \frac{3^n-1}{2} &

Question

If $D_k=\left|\begin{array}{ccc}3^k & \frac{1}{(k+1)(k+2)} & \cos (k+1) 	heta \ \frac{3^n-1}{2} & \frac{n}{n+1} & \frac{\sin \frac{n 	heta}{2} \cos \frac{(n+1) 	heta}{2}}{\sin \frac{	heta}{2}} \ a & b & c\end{array}ight|$ then $\sum_{k=0}^{n-1} D_k$ is

Professor PC Thomas Classes · Answer

$ \begin{aligned} & \sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}-1} 3^{\mathrm{k}}=1+3+3^2+\ldots .+3^{\mathrm{n}-1}=\frac{3^{\mathrm{n}}-1}{3-1}=\frac{3^{\mathrm{n}}-1}{2} \ & \sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{1}{(\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+2)}=\sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}-1}\left(\frac{1}{\mathrm{k}+1}-\frac{1}{\mathrm{k}+2}ight)=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1} \ & \sum_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}-1} \cos (\mathrm{k}+1) 	heta=1+\cos 	heta+\ldots .+\cos (\mathrm{n}-1) 	heta \ & =\operatorname{Re}\left[1+\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 	heta}+\ldots . .+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathrm{n}-1) 	heta}ight] \ & =\operatorname{Re}\left(\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} n} 	heta}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta}}ight)=\operatorname{Re}\left(\frac{\left(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta}ight)\left(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 	heta}ight)}{\left(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta 	heta}ight)\left(1-\mathrm{e}^{-i 	heta}ight)}ight) \ & =\operatorname{Re}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 	heta}-\mathrm{e}^{\mathrm{in} 	heta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathrm{n}-1) 	heta}}{2-\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} 	heta}ight)}ight]=\frac{1-\cos 	heta-\cos 	heta+\cos (\mathrm{n}-1) 	heta}{2(1-\cos 	heta)} \ & =\frac{2 \sin { }^2 \frac{	heta}{2}+2 \sin ^n\left(\mathrm{n}-\frac{1}{2}ight) 	heta \sin \frac{	heta}{2}}{4 \sin ^2 \frac{	heta}{2}}=\frac{\sin \frac{	heta}{2}+\sin \left(\mathrm{n}-\frac{1}{2}ight) 	heta}{2 \sin \frac{	heta}{2}} \ & =\frac{\sin \frac{\mathrm{n} 	heta}{2} \cos \frac{(\mathrm{n}-1) 	heta}{2}}{\sin \frac{	heta}{2}} \end{aligned} $